第1章 背景

在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。
　　直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone）。　他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。

第2章 浮点与定点概述 2.1         浮点与定点的定义

定点数：通俗的说，小数点固定的数。如123.23、343.23，小数后面有两位小数。

浮点数：一般来说，小数点不固定的数。比较容易理解的方式是，用科学记数法。如12.34510¹、1.234510²、0.1234510³……，为了表示一个数，小数点的位置发生改变。

2.2         定点数与浮点数对比

(1)      表示的精度与范围不同

例如，我们用4个十进制来表达一个数字。对于定点，我们能表示的区间[0000,9999]中的任何一个数字，但是如果我们要想表示类似1234.3的数值就无能为力了，因为此时的表示精度为1/10⁰=1；如果采用浮点数来表示（以归整的科学记数法，即小数点前有一位有效位），则可以表示[0.000,9.999]之间的任何一个数字，表示的精度为1/10³=0.001，精度比上一种方式提高了很多，但是表示的范围却小了很多。

也就是说，一般的，定点数表示的精度较低，但是表示的数值范围较大；而浮点数恰恰相反。

(2)      计算机中运算的效率不同

一般来说，定点数的运算在计算机中实现比较简单，效率较高；浮点数的运算在计算机中实现起来比较复杂，效率相对较低。

(3)      硬件依赖性

一般来说，只有硬件提供运算部件，就会提供点数运算的支持，但不一定支持浮点数的运算。

第3章 浮点数存储格式 3.1         表示形式

IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如图 3.1所示：

图 3.1 浮点数表现形式

　　N的实际值n由下列式子表示：n=(-1)^sm2^e

其中：

(1)      n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。

(2)      S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。

(3)      E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。

(4)      M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。

3.1.1    浮点数格式

IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。

(1)      单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。

(2)      双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。

值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是“m=1.010110011…”或者“m=0.010110011…”。

3.1.2    计算e、m

首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E！

下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m：

(1)      规格化。

当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式为：

e=|E|-bias

bias=2^k-1-1

|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。 k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。

此时m的计算公式为：m=|1.M|

标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625；即 m=1.625。

(2)      非规格化。

当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。

e=1-bias

m=|0.M|

注意，此时小数点左侧的隐含位为0。为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。

有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。

(3)      特殊数值。

当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。

3.1.3    C语言范例

将正负浮点数与整数对比，规格化与非规格化对比。

int main(void)

{

         float i1=0.5;

         float i2=-0.5;          /* 规格化 */

         float i3=0.000001;      /* 非规格化 */

         int m1=1;

         int m2=-1;

         int x1=*(int *)(&i1);     /* 先取地址，再得到所在地址上的值 */

         int x2=*(int *)(&i2);

         int x3=*(int *)(&i3);

         printf("0x%x\n",x1);

         printf("0x%x\n",x2);

         printf("0x%x\n",x3);

         printf("0x%x\n",m1);

         printf("0x%x\n",m2);

         return 0;

}

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